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In questi dieci esempi sono riportati tutti i passaggi della scomposizione in fattori di 10 polinomi.
I polinomi assegnati sono da considerarsi esercizi di riepilogo e quindi adatti a tutti coloro che hanno già studiato i casi elementari
Esempio 1.- Scomporre il polinomio
Esempio 2.- Scomporre il polinomio 
Esempio 3.- Scomporre il polinomio
Esempio 4.- Scomporre il polinomio
Il passo successivo tenderà ad eliminare almeno alcuni candidati cercando dei fattori. Esistono algoritmi molto efficienti per determinare se un numero divida o meno il numero (2P-1). Verifichiamo, ad esempio, se 47 divide 223-1. Occorre convertire l'esponente 23 in formato binario, ovvero 10111. Iniziando da 1, occorre elevare ripetutamente al quadrato, rimuovere il bit maggiore dell'esponente e, se questo è pari ad 1, moltiplicare il valore ottenuto per 2. Infine calcolare il resto della divisione per 47.
| Elevamento al quadrato | Rimozione del bit maggiore | Moltiplicazione (condizionata) *2 |
mod 47 |
| 1*1 = 1 | 1 0111 | 1*2 = 2 | 2 |
| 2*2 = 4 | 0 111 | no | 4 |
| 4*4 = 16 | 1 11 | 6*2 = 32 | 32 |
| 32*32 = 1024 | 1 1 | 1024*2 = 2048 | 27 |
| 27*27 = 729 | 1 |
729*2 = 1458 | 1 |